高考申論題
107年
[電力工程] 工程數學
第 二 題
📖 題組：
若 A 與 B 互為相似（similar）之 n × n 矩陣，trace(A)為矩陣 A 之跡數（trace）且 λ 為任意常數，令 I 為 n × n 單位矩陣，試證明：
若 A 與 B 互為相似（similar）之 n × n 矩陣，trace(A)為矩陣 A 之跡數（trace）且 λ 為任意常數，令 I 為 n × n 單位矩陣，試證明：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
trace(A) = trace(B)。（5 分）
思路引導 VIP
運用矩陣跡數 (trace) 的重要性質：trace(XY) = trace(YX)，將 B = P⁻¹AP 代入 trace(B) 的式子中進行推導。
小題 (一)
λI+A 與 λI+B 相似。（5 分）
思路引導 VIP
根據相似矩陣的定義，若 A 與 B 相似，則存在可逆矩陣 P 使得 B = P⁻¹AP。試著將 λI+B 用 P 展開，並利用純量矩陣可與任何矩陣交換的特性來證明。
小題 (三)
det(λI+A) = det(λI+B)。（5 分）
思路引導 VIP
利用第一小題的結論（λI+A 與 λI+B 相似），並結合行列式的乘法性質：det(XYZ) = det(X)det(Y)det(Z) 來證明。