調查局三等申論題
107年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
一、求解下列尤拉-柯西（Euler-Cauchy）微分方程式：（20 分）
x² y'' + xy' - 4y = 4x² ； y(1) = 0，y'(1) = 5，其中 y' ≡ dy/dx，y'' ≡ d²y/dx²。
📝 此題為申論題
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面對尤拉-柯西（Euler-Cauchy）微分方程式，首要步驟是透過變數變換 x = e^t 將其轉換為常係數微分方程式以簡化計算。接著在求特解時，務必觀察非齊次項是否與齊次解產生共振（重疊），若有則須乘上獨立變數進行修正，求出通解後再代入初始條件求得唯一解。
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【解題思路】利用變數變換 $x = e^t$ 將尤拉-柯西方程式轉換為常係數線性微分方程式，求出齊次解後，再以未定係數法求出特解，最後代入初始條件定出常數。 【詳解】 已知方程式：$x^2 y'' + xy' - 4y = 4x^2$
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