調查局三等申論題
106年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
一、求解 y'' + 4y' + 4y = f(t); y(0) = 1, y'(0) = 2, f(t) = \begin{cases} 1, & $\text{for } 0 \le t < 2 \ 0,$& $\text{for } t \ge 2 \end{cases} .$（20 分）\n（ y' $\equiv \frac{dy}{dt} , y$'' $\equiv \frac{d^2y}{dt^2}$）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到帶有分段連續強制函數（Forcing Function）的常係數線性微分方程，應立即聯想到使用「拉普拉斯變換（Laplace Transform）」來求解最為俐落。解題核心在於先將 $f(t)$ 轉換為單位步階函數 $u(t)$ 的形式，接著在頻域（s-domain）進行代數運算與部分分式展開，最後務必嚴謹運用「第二平移定理」求得時間域的逆變換。
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【解題思路】面對激勵函數為分段函數之常係數線性微分方程，標準且高效的方法為「拉普拉斯變換（Laplace Transform）」。解題關鍵在於利用單位步階函數重寫 $f(t)$，並熟練運用第二平移定理處理逆變換。 【詳解】 已知微分方程：$y'' + 4y' + 4y = f(t)$，初始條件 $y(0) = 1, y'(0) = 2$。
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