調查局三等申論題
110年
[電子科學組] 工程數學
第 三 題
三、求解 y''(t) + 9y(t) = \sin 2t + $\delta(t-1), \quad y$'(0)=1, y(0)=0，其中 y''(t) $\triangleq \frac{d^2y(t)}{dt^2}, y$'(t) $\triangleq \frac{dy(t)}{dt}$，$\delta(\cdot)$為單位脈衝函數（unit impulse function/Dirac delta function）。（15 分）
📝 此題為申論題
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本題方程式包含單位脈衝函數（Dirac delta function），遇到此類具備不連續激發函數的常微分方程，應立即聯想使用「拉普拉斯變換（Laplace Transform）」來求解。透過轉換至 s 域代入初始條件，再利用部分分式展開進行反轉換，並留意第二平移定理的應用，即可嚴謹求得原函數。
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【解題思路】方程式右側含有單位脈衝函數 $\delta(t-1)$，且給定 $t=0$ 之初始條件，處理此類具備奇異函數（Singularity Functions）的線性常微分方程，最標準且嚴謹之解法為「拉普拉斯變換（Laplace Transform）」。 【詳解】 已知：
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