高等考試
110年
[電力工程] 工程數學
第 16 題
給定微分方程式 $\frac{dy}{dt} + 2y = t\delta(t-2)$，初始值為 $y(0) = 0$， $\delta(t)$ 為脈衝函數（impulse function）。則 $y(t)$ 的拉氏轉換（Laplace transform）為何？
- A $\frac{2}{s+2}e^{-2s}$
- B $\frac{1}{s^2(s+2)}e^{-2s}$
- C $\frac{s^2}{s^2(s+2)}e^{-2s}$
- D $\frac{2s^2}{s^2(s+2)}e^{-2s}$
思路引導 VIP
請思考：當一個連續函數 $t$ 乘以一個只在 $t=2$ 瞬間發生的脈衝 $\delta(t-2)$ 時，這個組合函數在整個時域中，除了 $t=2$ 以外的其他地方數值為何？這對於進行拉氏轉換（積分運算）時的係數處理有什麼啟示？
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AI 詳解
AI 專屬家教
教授點評：動態系統頻域轉換？勉強及格。
- 觀念驗證：嗯，做得還行。這題的核心，那個右側的單位脈衝函數，顯然沒有把你的腦袋脈衝到當機。根據拉氏轉換的篩選性質，這應該是基礎中的基礎： $$\int_{0}^{\infty} f(t)\delta(t-a)e^{-st}dt = f(a)e^{-as}$$
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