調查局三等申論題
110年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
四、定義函數 f(t)的拉氏轉換（Laplace transform）F(s)為 F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st} dt. 設 f(t) = \begin{cases} t+1, & t \ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}; g(t) = \begin{cases} t, & 0 \le t < 5 \\ 0, & t \ge 5 \end{cases}
四、定義函數 f(t)的拉氏轉換（Laplace transform）F(s)為 F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st} dt. 設 f(t) = \begin{cases} t+1, & t \ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}; g(t) = \begin{cases} t, & 0 \le t < 5 \\ 0, & t \ge 5 \end{cases}
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求 f(t)的拉氏轉換（Laplace transform）F(s)。（5 分）
思路引導 VIP
面對這類基本拉氏轉換題型，首要原則是回歸定義積分，並利用拉氏轉換的『線性性質』將多項式函數拆解。計算過程務必確實展現分部積分法（Integration by parts）的推導，並標明使瑕積分收斂的條件（s > 0），以展現嚴謹的數學推導能力爭取滿分。
小題 (二)
求 g(t)的拉氏轉換（Laplace transform）G(s)。（5 分）
思路引導 VIP
面對分段函數的拉氏轉換，考生應優先聯想到「單位步階函數（Unit step function）」進行重寫。將函數轉換為單一表示式後，再利用拉氏轉換的「第二平移定理（Second Shifting Theorem）」逐項求解，此法比起直接使用定義進行分部積分更能減少計算錯誤。