調查局三等申論題
109年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
考慮如下所示之初始值問題（initial-value problem）： 微分方程式：\frac{d^2}{dx^2}y(x) + 2\frac{d}{dx}y(x) - 3y(x) = 2e^{-x}，初始條件（initial conditions）：y(0) = 1, y'(0) = -1（y'(x)為\frac{d}{dx}y(x)之簡寫）。
考慮如下所示之初始值問題（initial-value problem）： 微分方程式：\frac{d^2}{dx^2}y(x) + 2\frac{d}{dx}y(x) - 3y(x) = 2e^{-x}，初始條件（initial conditions）：y(0) = 1, y'(0) = -1（y'(x)為\frac{d}{dx}y(x)之簡寫）。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
求出此微分方程式的齊次解（homogeneous solution）。換句話說，也就是求解：$\frac{d^2}{dx^2}y(x) + 2\frac{d}{dx}y(x) - 3y(x) = 0$。（7分）
思路引導 VIP
面對二階常係數線性常微分方程式的齊次解問題，應先假設解為指數形式以建立特徵方程式（Characteristic equation）。透過求解特徵方程式的根（實數相異根、重根或複數根），即可根據線性疊加原理寫出對應的齊次解。
小題 (二)
求出原微分方程式的一個特定解（particular solution）。（7分）
思路引導 VIP
看到非齊次線性微分方程式求「特定解（特解）」，首選觀察等號右側激勵函數的形式。本題右式為指數函數，適合使用「待定係數法」。解題前務必先求出特徵方程式的根，以確認激勵函數是否與齊次解重複，進而決定正確的特解假設形式。
小題 (三)
求出本初始條件問題的精確解（exact solution）。（6分）
思路引導 VIP
遇到常係數線性非齊次常微分方程，應立即聯想到『通解 = 齊次解 + 特解』的求解結構。建議先利用特徵方程式求出齊次解，再根據非齊次項的指數型態使用『未定係數法』求出特解，最後將通解代入初始條件決定未知常數，以求得精確解。