調查局三等申論題 114年 [電子科學組] 工程數學

第一題

📖 題組：
三、我們考慮一個二階常係數微分方程式：y''(t) + 4y'(t) + 3y(t) = t^2，其初始條件為：y(0) = 2, y'(0) = -1。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

(一)請寫出此微分方程式之齊次解（homogeneous solution）的一般形式。（6 分）

看到二階常係數微分方程式求齊次解，應立刻聯想到令等號右邊為零的齊次方程式。透過建立並求解特徵方程式（Characteristic equation），判斷特徵根的性質（相異實根、重根或共軛複數根），即可直接寫出齊次解的線性組合形式。

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【解題思路】利用特徵方程式（Characteristic equation）求解二階常係數線性齊次微分方程式的特徵根，依據根的性質組合出齊次解。【詳解】已知：題目給定之微分方程式對應的齊次微分方程式為 y''(t) + 4y'(t) + 3y(t) = 0

(二)請找出此微分方程式的一個特定解（particular solution）。（6 分）

本題要求解非齊次微分方程式的特解，觀察等號右側的非齊次項為二次多項式 t²，最直接有效的方法是使用「未定係數法」。考生應假設特解形式為二次多項式 At² + Bt + C，透過微分代入原方程式並比較係數，即可解出未知參數。

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【解題思路】利用未定係數法（Method of Undetermined Coefficients），假設特解形式並代入原方程式比較係數求得。【詳解】已知：微分方程式為 $y''(t) + 4y'(t) + 3y(t) = t^2$

(三)請找出此微分方程式（含初始條件）之完整解（complete solution）。（8 分）

面對非齊次線性常係數微分方程式的初值問題，應遵循「通解 = 齊次解 (yc) + 特解 (yp)」的結構。先利用特徵方程式求出齊次解，接著運用未定係數法假設與多項式匹配的特解，最後將兩者相加後再代入初始條件解出未定常數即可。

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【解題思路】利用特徵方程式求出齊次解，再以未定係數法求出特解，兩者相加得到通解後代入初始條件求出常數。【詳解】已知微分方程式：$y''(t) + 4y'(t) + 3y(t) = t^2$，初始條件：$y(0) = 2, y'(0) = -1$。