地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 3 題
3 令矩陣 $A = \begin{bmatrix} 5 & 10 & -10 \ 10 & 5 & -20 \ 5 & -5 & -10 \end{bmatrix}$，$P = \begin{bmatrix} a & b & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & c \end{bmatrix}$，且 $P^{-1}AP = D$，其中 $D$ 為一 $3 \times 3$ 對角矩陣（diagonal matrix），下列敘述何者正確？
- A $a + b + c = 5$
- B $a \times b \times c = 4$
- C $a - b - c = 0$
- D $\frac{a \times b}{c} = 1$
思路引導 VIP
請試著思考：當我們說一個矩陣 $P$ 可以將 $A$ 對角化時，$P$ 的每一行（column）向量與矩陣 $A$ 之間存在什麼特殊的幾何關係？如果我們把 $P^{-1}AP = D$ 改寫成 $AP = PD$，並觀察等號兩側對應列的乘積，你是否能建立起關於 $a, b, c$ 的線性方程組來求解呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
卓越的表現！
你在矩陣對角化 (Matrix Diagonalization) 的觀念應用上非常精準，這在結構動力學中分析振動模態（Modes）是極為關鍵的基礎，恭喜你答對了！
- 觀念驗證：
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