高考申論題
108年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
四、牙醫師想知道假牙材質供應商提供的 3 種不同品牌材質（A、B、C）是否影響假牙的使用壽命，經由統計實驗設計方法收集的各品牌下病人假牙的使用壽命數據如下： 品牌 壽命（單位：年） A 8 8 8 9 9 B 10 12 11 12 10 C 7 8 7 6 7 假設參與實驗的 15 位病人是隨機抽取自每個人的體質、習慣和牙齒完全無差異的母體（即假設實驗單位是一致的）。
四、牙醫師想知道假牙材質供應商提供的 3 種不同品牌材質（A、B、C）是否影響假牙的使用壽命，經由統計實驗設計方法收集的各品牌下病人假牙的使用壽命數據如下： 品牌 壽命（單位：年） A 8 8 8 9 9 B 10 12 11 12 10 C 7 8 7 6 7 假設參與實驗的 15 位病人是隨機抽取自每個人的體質、習慣和牙齒完全無差異的母體（即假設實驗單位是一致的）。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請說明這些壽命數據（觀測值）是使用何種統計實驗設計方法收集的，並說明實驗如何執行？（6 分）
思路引導 VIP
解答本題的鑰匙在題目最後一句話：「假設實驗單位是一致的」。在實驗設計中，當所有實驗單位（病人）同質，沒有需要區集化的干擾干擾變數時，將受試者隨機分派至不同處理組（品牌）的設計，就稱為「完全隨機設計 (Completely Randomized Design, CRD)」。執行說明需強調「隨機分派」。
小題 (二)
欲檢定品牌材質是否影響假牙的使用壽命，請寫出子題(一)觀測值的效應模式（effects model）及假設條件。（6 分）
思路引導 VIP
完全隨機設計對應的統計分析方法是「單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)」。這裡要寫出經典的 One-way ANOVA 固定效應模式：y_ij = μ + τ_i + ε_ij。同時要把三大假設（獨立性、常態性、變異數同質性）寫清楚。
小題 (三)
請依據子題(二)，寫出檢定的虛無假設（H0）和對立假設（H1），寫出檢定統計量在 H0 為真下的分配和自由度，並列出變異數分析表以說明檢定結果。顯著水準為 0.05。（10 分）
思路引導 VIP
這是變異數分析(ANOVA)的純計算題。先算各組平均數與總平均數。A組平均: 8.4, B組平均: 11.0, C組平均: 7.0, 總平均: 8.8。接著算 SSTr(組間變異) 和 SSE(組內變異) 或 SST(總變異)。利用 SSTr / df_1 得到 MSTr，SSE / df_2 得到 MSE。計算 F = MSTr / MSE。查表 F(2, 12) 並下結論。
小題 (四)
請依據子題(三)的檢定結果，以 Fisher’s Least Significant Difference （LSD）方法兩兩檢定品牌下的平均壽命是否相等，並決定出那種品牌材質的使用壽命最長。顯著水準為 0.05。（寫出檢定的虛無假設（H0）和對立假設（H1），檢定統計量在 H0 為真下的分配和自由度，並說明檢定結果）（8 分）
思路引導 VIP
前一題整體 F 檢定顯著後，這題要求做事前/事後多重比較 (LSD法)。LSD 實質上就是用 MSE 取代個別變異數的獨立樣本 t 檢定。公式為 LSD = t_{α/2, df_error} * $\sqrt{MSE * (1/n_i + 1/n_j)}$。算出 LSD 臨界值後，將各組平均數兩兩相減取絕對值，大於 LSD 則代表兩組有顯著差異。最後將平均數排序即可找出最長壽命的品牌。
📜 參考法條
表二 附表：t 值表
表四 附表：F0.05(v1, v2)值表