高考申論題
106年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
一個完全隨機設計之二因子實驗之因子、因子水準和 8 個反應值如表所示： X1 X2 反應值（y） -1 -1 20 30 -1 1 40 50 1 -1 50 60 1 1 12 16
一個完全隨機設計之二因子實驗之因子、因子水準和 8 個反應值如表所示： X1 X2 反應值（y） -1 -1 20 30 -1 1 40 50 1 -1 50 60 1 1 12 16
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
8 個實驗之實驗順序如何決定？（3 分）
思路引導 VIP
看到「完全隨機設計」，必須立刻聯想到實驗設計的三大基本原則之一：「隨機化（Randomization）」。決定實驗順序的唯一正確方法就是透過客觀的隨機機制（如亂數表、電腦抽樣）來安排所有實驗的先後次序，藉以消除潛在干擾變數的影響並確保誤差項的獨立性。
小題 (二)
寫出變異數分析的固定效應模式（fixed effects model）（須考慮因子之交互作用）及其假設。假設因子是固定的（fixed factors）。（10 分）
思路引導 VIP
看到二因子完全隨機設計，首先聯想帶有主效應與交互作用項的線性統計模型。接著針對「固定效應」，務必列出參數總和為零的限制條件，並寫下誤差項獨立且服從常態分配（i.i.d. N(0, σ²)）的基本假設。
小題 (三)
列出變異數分析表並檢定 X1、X2 和 X1X2（交互作用）之效應是否顯著。顯著水準皆為 0.05。（寫出虛無假設和對立假設，並說明檢定統計量之分配。）（10 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應立刻聯想到「二因子完全隨機設計（2×2 Factorial Design）」的變異數分析。解題關鍵在於正確計算各儲存格的總和與平方和，將總變異（SST）拆分為 X1 主效應（SSA）、X2 主效應（SSB）、交互作用效應（SSAB）與誤差（SSE），接著列出 ANOVA 表，並利用 F 檢定（臨界值為 F(1,4)）來判斷各效應是否顯著。
小題 (四)
請依(三)之檢定結果，寫出此因子實驗之配適後迴歸模型或反應曲面（response surface）。假設 -1 ≤ X1, X2 ≤ 1。（12 分）
思路引導 VIP
看到2^2完全隨機設計求反應曲面或迴歸模型，應立即想到利用設計矩陣的「直交性質（Orthogonal Property）」來求解。透過計算總平均與各項效應（主效應、交互作用）的直交對比和，再除以總觀測值個數，即可快速且嚴謹地得出最小平方法（OLS）的迴歸係數。