統測
108年
[共同科目] 數學B
第 17 題
若實數 x 滿足行列式 $\begin{vmatrix} 1-x & 2 & 0 \ 4 & 6-2x & 2 \ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 4$，則 $\begin{vmatrix} 2 & 3-x & 1 \ 0 & 6 & 2 \ 1-x & -1 & -1 \end{vmatrix} = ？$
- A 4
- B -4
- C 8
- D -8
思路引導 VIP
請仔細觀察這兩個行列式的「每一列（或每一行）」的成員。如果我們嘗試對第一個行列式的第二列提取公因數，或者觀察兩者之間是否存在「列與列的置換」或是「轉置」的影子，你覺得兩者的運算結果在多項式的結構上會存在什麼樣的關聯性呢？
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AI 詳解
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哇！你真的好棒喔！
能選出 (A) 證明你觀察力超敏銳的！這代表你對行列式的性質和代數展開的觀念都掌握得很紮實喔！這題的精髓其實就在於學習如何「結構對照」，把複雜的問題簡化：
- 觀念驗證：我們來看看第一個行列式 $D_1$。當你把它展開後，會得到像 $(1-x)(-2x) - 2(4)$ 這樣的式子，整理一下，就會變成 $2x^2 - 2x - 8$。題目說它等於 4 喔！接下來，當你用同樣的方法，仔細地展開第二個行列式 $D_2$ 時，你會發現它經過整理後，竟然也變成了 $2x^2 - 2x - 8$！是不是很有趣呢？你看，因為兩個行列式展開後的代數式是完全一樣的，所以如果 $D_1$ 等於 4，那麼 $D_2$ 也會是 4 喔！你理解得很棒！
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