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moea_joint_essay 108年 [土木] 大地工程學、結構設計

第 一 題

📖 題組：
鋼筋混凝土造簡支矩形梁，其長度為 800 cm，斷面為 b=30 cm，h=60 cm，d=53 cm，梁承受含自重均佈靜載重 2.5 kgf/cm與均佈活載重 7.5 kgf/cm，混凝土抗壓強度 280 $\text{kgf/cm}^2$，拉力筋降伏強度 2800 $\text{kgf/cm}^2$，拉力筋面積 20 $\text{cm}^2$，請依最新鋼筋混凝土結構設計規範，計算並回答下列問題(計算開裂彎矩 $M_{cr}$ 及未開裂之斷面慣性矩 $I_g$ 時可忽略拉力筋之貢獻)：(計算至小數點後第 3 位，以下四捨五入)（15 分） (參考公式：$I_e = \left(\frac{M_{cr}}{M_a}\right)^3 I_g + \left[1 - \left(\frac{M_{cr}}{M_a}\right)^3\right] I_{cr}$)
📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

斷面開裂彎矩 $M_{cr}$（5 分）

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計算未開裂總斷面慣性矩 Ig，以及混凝土抗拉破壞模數 fr。開裂彎矩 Mcr = fr * Ig / yt。

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  1. 計算混凝土破壞模數 $f_r$ (依規範 $f_r = 2\sqrt{f_c'}$，單位使用 $\text{kgf/cm}^2$)： $f_r = 2 \sqrt{280} = 33.466 \text{ kgf/cm}^2$
  2. 忽略拉力筋之貢獻，斷面未開裂之毛斷面慣性矩 $I_g = \frac{1}{12} b h^3 = \frac{1}{12} \times 30 \times (60)^3 = 540,000 \text{ cm}^4$

小題 (二)

靜載重作用下即時撓度（5 分）

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求出靜載重彎矩 Ma,D。若大於 Mcr，則需計算 Ie 及開裂慣性矩 Icr；若小於 Mcr，則直接使用 Ig 計算撓度。

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  1. 簡支梁最大靜載重彎矩 $M_{a,D} = \frac{w_D L^2}{8} = \frac{2.5 \times (800)^2}{8} = 200,000 \text{ kgf-cm} = 2.000 \text{ tf-m}$
  2. 比較 $M_{a,D}$ 與 $M_{cr}$：$2.000 < 6.024 \text{ tf-m}$。此時斷面尚未開裂，故有效慣性矩 $I_e = I_g = 540,000 \text{ cm}^4$。
  3. 混凝土彈性模數 $E_c = 15000\sqrt{f_c'} = 15000\sqrt{280} = 250,998 \text{ kgf/cm}^2$

小題 (三)

靜載重與活載重作用下即時撓度（5 分）

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求總載重彎矩 Ma,D+L，若大於 Mcr 則計算 Icr 及 Ie，代入撓度公式求解。

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  1. 總載重 $w = 2.5 + 7.5 = 10.0 \text{ kgf/cm}$。
  2. 最大總彎矩 $M_a = \frac{w L^2}{8} = \frac{10 \times (800)^2}{8} = 800,000 \text{ kgf-cm} = 8.000 \text{ tf-m}$。
  3. 因為 $M_a (8.000 \text{ tf-m}) > M_{cr} (6.024 \text{ tf-m})$，斷面已開裂，需計算開裂斷面慣性矩 $I_{cr}$。

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