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moea_joint_essay 108年 [電機] 電力系統與電機機械、電磁學

第 二 題

📖 題組：
如【圖 5】所示，有一均勻磁化的圓柱狀磁棒，其半徑為 a，長度為 L，軸向磁化向量M = azM0，請回答下列問題：（15 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (二)

證明磁棒中心點(P0)之磁通密度大於磁棒兩端(P1、P'1)之磁通密度（5 分）
題目圖片

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將 $z=0$ (中心點) 與 $z=L/2$ (端點) 代入上述 $\mathbf{B}(z)$ 的方程式，比較兩者數值大小即完成證明。

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  1. 假設磁棒中心位於原點 ($z=0$)。代入 $z=0$ 至上式得中心點磁通密度： $B(0) = \frac{\mu_0 M_0}{2} \left( \frac{L/2}{\sqrt{a^2+(L/2)^2}} - \frac{-L/2}{\sqrt{a^2+(-L/2)^2}} \right) = \mu_0 M_0 \frac{L}{\sqrt{4a^2+L^2}}$。
  2. 計算端點磁場，以 $P_1$ 為例 ($z=L/2$)，代入得：

小題 (一)

Z 軸上任一點(P)之磁通密度（10 分）
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均勻磁化材料可等效為體磁化電流 $J_m = \nabla \times M = 0$ 與面磁化電流 $K_m = M \times a_n$。圓柱側面的單位法向量為 $a_\rho$，因此 $K_m = a_z M_0 \times a_\rho = a_\phi M_0$。此等效於一個表面電流密度為 $M_0$ 的螺線管。使用必歐-沙伐定律積分計算Z軸上任一點的磁場。

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  1. 磁棒的磁化向量均勻，體磁化電流密度 $\mathbf{J}_m = \nabla \times \mathbf{M} = 0$。
  2. 表面磁化電流密度 $\mathbf{K}_m = \mathbf{M} \times \mathbf{a}n = (M_0 \mathbf{a}z) \times \mathbf{a}\rho = M_0 \mathbf{a}\phi$。
  3. 此等同於表面流有環形電流之螺線管。考慮在 $z'$ 處厚度為 $dz'$ 的微小圓環，電流 $dI = M_0 dz'$，其在軸上點 $P(0,0,z)$ 產生的磁通密度為：
📝 圓柱磁棒磁場分布
💡 均勻磁化磁棒中心磁場最強，愈往兩端磁通密度愈趨減弱。
比較維度 中心點 P0 VS 端點 P1 / P'1
軸向位置 z = 0 (幾何中心) — z = L/2 或 -L/2
電流貢獻 兩側對稱完整貢獻 — 僅單側磁流貢獻
公式特徵 係數無 1/2，分母較小 — 係數包含 1/2，場強減半
💬中心點磁場由全段磁化電流疊加，故其磁通密度顯著大於僅受單側影響的端點。
🧠 記憶技巧：中心雙倍強，端點打半折；中間最緊密，兩頭散開來。
⚠️ 常見陷阱：容易在代入公式時忽略座標原點的設定，或無法直觀理解為何端點貢獻只有一半。
磁化強度 M 等效面電流 螺線管磁場 必歐-沙伐定律

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