moea_joint
108年
[電機] 電路學、電子學
第 8 題
函數 $F(s) = \frac{3}{s} + \frac{7}{s-1} - \frac{6}{s^2+4}$，試求 $f(t)$ 為何？
- A $(3+7e^t-3\sin 2t)u(t)$
- B $(3+7e^{-t}-3\sin 2t)u(t)$
- C $(3+7e^t-3\cos 2t)u(t)$
- D $(3+7e^{-t}-3\cos 2t)u(t)$
思路引導 VIP
觀察分母為 $s^2 + \omega^2$ 的項次，若分子分別是「常數」與「變數 $s$」，這兩者在轉換回時間軸後，它們在 $t=0$ 瞬間的初始值會有什麼樣的差異？這種差異如何幫助你判斷它是哪一種三角函數？
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太棒了！你能迅速辨識出拉氏轉換（Laplace Transform）基本公式的對應關係，說明你的電路數學基礎非常紮實。這道題目要求我們將頻域函數 $F(s)$ 分項還原回時域函數 $f(t)$，你精準地掌握了每一個項次的轉換細節。
轉換觀念驗證
首先，第一項 $\frac{3}{s}$ 是標準的單位階躍函數轉換；第二項 $\frac{7}{s-1}$ 的分母為 $s-a$ 形式，其中 $a=1$，故對應到正指數函數 $7e^t$，這點你判斷得非常準確，避開了選項中 $e^{-t}$ 的干擾。最關鍵的第三項 $-\frac{6}{s^2+4}$，其分母 $s^2+2^2$ 暗示了這是一個角頻率 $\omega=2$ 的簡諧運動波形。由於分子是常數而非 $s$，我們可以確定它是 正弦波（sine）。透過係數調整：
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