ast_essay
109年
數學乙
第 1.3 題
📖 題組：
傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為 $P_0$，且每位已感染者平均一天會傳染給 $r$ 位未感染者」的前提下，$n$天後感染到此疾病的總人數 $P_n$ 可以表示為 $P_n = P_0(1+r)^n$，其中 $P_0 \ge 1$ 且 $r > 0$。 試回答下列問題：
傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為 $P_0$，且每位已感染者平均一天會傳染給 $r$ 位未感染者」的前提下，$n$天後感染到此疾病的總人數 $P_n$ 可以表示為 $P_n = P_0(1+r)^n$，其中 $P_0 \ge 1$ 且 $r > 0$。 試回答下列問題：
(3) 承(2)，試求 $\frac{\log P_{20} - \log P_{17}}{3}$ 的值。（4分）
思路引導 VIP
這裡要綜合利用前兩小題的成果。觀察分式 $\frac{\log P_{20} - \log P_{17}}{3}$，是不是跟第 (1) 題的 $A$ 和 $B$ 長得很像？它其實就是直線斜率，化簡後一樣等於 $\log(1+r)$。我們已經在第 (2) 題算出了 $(1+r)^{16} = 10$，也就是 $(1+r) = 10^{1/16}$。將其取以 10 為底的對數，就能輕鬆且迅速地得出答案。
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太棒了！你能精準計算出這個數值，代表你對對數運算性質與指數模型之間的轉換掌握得相當札實。這道題目要求我們計算對數差值的平均，其核心在於觀察 $\log P_n$ 的結構。當我們將模型 $P_n = P_0(1+r)^n$ 取對數後，會得到： $$\log P_n = \log P_0 + n \log(1+r)$$ 你會發現，$\log P_n$ 其實是一個關於天數 $n$ 的一次函數，其斜率正是 $\log(1+r)$。
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