地特三等申論題
109年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
假設金牌輪胎的使用壽命（單位：月）服從韋伯（Weibull）分配，機率密度函數為 f(x) = (k/λ)(x/λ)^(k-1) e^-(x/λ)^k , x ≥ 0 其中 λ = 120 是比例參數（scale parameter），k = 5 是形狀參數（shape parameter）。廠商擬訂出一個保固期限 T（單位：月），使得僅有約 0.05% 的輪胎之壽命低於 T。利用伽瑪（Gamma）函數的定義與性質： Γ(z) = ∫₀^∞ x^(z-1) e⁻ˣ dx, Γ(z + 1) = zΓ(z) 與 Γ(0.2) = 4.59，回答以下問題：（每小題10分，共20分）
假設金牌輪胎的使用壽命（單位：月）服從韋伯（Weibull）分配，機率密度函數為 f(x) = (k/λ)(x/λ)^(k-1) e^-(x/λ)^k , x ≥ 0 其中 λ = 120 是比例參數（scale parameter），k = 5 是形狀參數（shape parameter）。廠商擬訂出一個保固期限 T（單位：月），使得僅有約 0.05% 的輪胎之壽命低於 T。利用伽瑪（Gamma）函數的定義與性質： Γ(z) = ∫₀^∞ x^(z-1) e⁻ˣ dx, Γ(z + 1) = zΓ(z) 與 Γ(0.2) = 4.59，回答以下問題：（每小題10分，共20分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
試問金牌輪胎之平均壽命為幾個月？
思路引導 VIP
本題測驗Weibull分配期望值的推導能力。解題關鍵在於利用連續型隨機變數的期望值定義寫出積分式，接著透過變數變換 y = (x/λ)^k 將複雜的積分式轉換為標準的Gamma函數型態，最後代入題目給定的參數與Gamma函數性質求解。
小題 (二)
試問保固期限 T 應該訂為多少？
思路引導 VIP
- 測驗韋伯分配（Weibull Distribution）的累積分配函數（CDF）推導與分位數求解。
- 透過積分求出 CDF 後，令 P(X < T) = 0.0005 反解保固期限 T。
📜 參考法條
z_0.01 = 2.33, z_0.05 = 1.645, z_0.1 = 1.28
χ²_2,0.05 = 5.99, χ²_3,0.05 = 7.81
χ²_4,0.05 = 9.49, χ²_5,0.05 = 11.07, χ²_2,0.1 = 4.61
F_6,18,0.025 = 3.22, F_6,18,0.05 = 2.66
F_5,18,0.025 = 3.38, F_5,18,0.05 = 2.77