高考申論題
109年
[工業工程] 作業研究
第 一 題
📖 題組：
二、有一商家賣新的熱銷手機，商家每日開始營業時，庫存只可存放最多S支手機於店內。當日結束營業後檢查手機庫存量，如果庫存少於或等於s支手機，商家就會向通路商補貨。通路商只會供應R1或R2兩種供貨數量。也由於手機熱銷，顧客當日來店，若手機當日銷售完，會留下資料，該筆需求成為欠單需求。商家會於補貨日時補足該欠單。補貨時，是以要補足欠單數量（如果有的話），同時也要補足S支庫存，或在無法補足時，儘量補足庫存的方式決定補貨R1或R2的手機量。補貨之手機於次日開始營業前會補足欠單量並送達商家成為店內之庫存。令D表示每日的需求量，其機率分布如下 P(D=0)=1/3, P(D=1)=1/3, P(D=2)=1/3 。 若以馬可夫鍊（Markov Chain）建模分析此系統並以每日結束營業後檢查庫存量當作狀態（state）。系統的參數為S=2, s=0, R1=1, R2=3
二、有一商家賣新的熱銷手機，商家每日開始營業時，庫存只可存放最多S支手機於店內。當日結束營業後檢查手機庫存量，如果庫存少於或等於s支手機，商家就會向通路商補貨。通路商只會供應R1或R2兩種供貨數量。也由於手機熱銷，顧客當日來店，若手機當日銷售完，會留下資料，該筆需求成為欠單需求。商家會於補貨日時補足該欠單。補貨時，是以要補足欠單數量（如果有的話），同時也要補足S支庫存，或在無法補足時，儘量補足庫存的方式決定補貨R1或R2的手機量。補貨之手機於次日開始營業前會補足欠單量並送達商家成為店內之庫存。令D表示每日的需求量，其機率分布如下 P(D=0)=1/3, P(D=1)=1/3, P(D=2)=1/3 。 若以馬可夫鍊（Markov Chain）建模分析此系統並以每日結束營業後檢查庫存量當作狀態（state）。系統的參數為S=2, s=0, R1=1, R2=3
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
寫出狀態空間（state space），那些狀態（state）要補R1量的貨？那些狀態（state）要補R2量的貨？（10分）
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看到此類庫存管理的馬可夫鏈題型，首先應根據「最大實體庫存容量限制（S=2）」與「補貨規則」來判定觸發補貨時（x ≤ 0）該選擇 R1 還是 R2。接著，透過分析「次日開門庫存」減去「每日可能的需求量」，推演出所有可達到的常態打烊庫存，即可求出完整的狀態空間（State Space）。
小題 (二)
寫出機率轉換（transition）矩陣。（5分）
思路引導 VIP
首先界定馬可夫鏈的狀態空間為「每日結束營業後的庫存量」，並根據(s, S)=(0, 2)的補貨政策與限制條件，決定各狀態的補貨量（R1=1或R2=3）。接著將「補貨後的期初庫存」扣除「當日隨機需求D」，推導出次日結束時的狀態轉移機率，最終寫成矩陣形式。
小題 (三)
求出穩態（steady-state）機率。（5分）
思路引導 VIP
考生看到此題應立刻聯想到建立「馬可夫鏈（Markov Chain）」的狀態轉移矩陣。解題關鍵在於準確判斷『每日結束營業後的庫存量』狀態空間（特別是包含欠單的負數狀態），並依據題目『儘量補足但不可超過 S』的補貨條件推導出每天早上的真實庫存，進而計算出一步轉移機率矩陣。
小題 (四)
在系統穩定下，任何一天會發生欠單之機率為何？當這天發生欠單，平均隔幾天會再發生欠單？（5分）
思路引導 VIP
首先，辨識此為『存貨控制』與『馬可夫鏈（Markov Chain）』的綜合題型。解題核心在於將「每日結束營業後的庫存量」定義為系統狀態，並依據最大庫存限制（S=2）與補貨規則（儘量補足且不超過容量S），推導出有限的狀態空間及轉移機率矩陣。接著，透過求解穩態機率（Steady-state probabilities）得出欠單發生機率，最後利用馬可夫鏈中的『平均再臨時間』（Mean Recurrence Time, 1/π）性質，求出再次發生欠單的平均天數。