高考申論題
109年
[氣象] 大氣動力學
第 一 題
📖 題組：
四、根據二層準地轉模式，斜壓波之相速可寫為： \( c = U_m - \frac{\beta (k^2 + \lambda^2)}{k^2 (k^2 + 2\lambda^2)} \pm \delta^{1/2} \) 其中 \( \delta = \frac{\beta^2 \lambda^4}{k^4 (k^2 + 2\lambda^2)^2} - \frac{U_T^2 (2\lambda^2 - k^2)}{(k^2 + 2\lambda^2)} \) \( U_m = \frac{U_1 + U_3}{2} \quad ; \quad U_T = \frac{U_1 - U_3}{2} \) \( \lambda^2 = f_0^2 / (\sigma \delta p^2) \) 上三式中所有變數之定義同Holton教科書。試問：（每小題5分，共15分）
四、根據二層準地轉模式，斜壓波之相速可寫為： \( c = U_m - \frac{\beta (k^2 + \lambda^2)}{k^2 (k^2 + 2\lambda^2)} \pm \delta^{1/2} \) 其中 \( \delta = \frac{\beta^2 \lambda^4}{k^4 (k^2 + 2\lambda^2)^2} - \frac{U_T^2 (2\lambda^2 - k^2)}{(k^2 + 2\lambda^2)} \) \( U_m = \frac{U_1 + U_3}{2} \quad ; \quad U_T = \frac{U_1 - U_3}{2} \) \( \lambda^2 = f_0^2 / (\sigma \delta p^2) \) 上三式中所有變數之定義同Holton教科書。試問：（每小題5分，共15分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
何種情況下會產生斜壓不穩定？
思路引導 VIP
思考斜壓不穩定的定義：微小擾動的振幅隨時間呈指數成長，這在波解中對應於相速 $c$ 具有虛數部分。因此，切入點為令根號內的判別式 $\delta < 0$，並進一步推論出波數 $k$（空間尺度）與熱力風 $U_T$（垂直風切/經向溫度梯度）必須滿足的物理條件。
小題 (二)
求最不穩定斜壓波之波長？
思路引導 VIP
看到「最不穩定斜壓波」之條件，應立刻聯想到需尋求成長率（growth rate, $kc_i$）的最大值。為了求出明確的數學解析解，依據教科書（如Holton）慣例會先假設 $\beta=0$ 以簡化問題，再將成長率對 $k^2$ 微分求極值，即可求得最不穩定波長。
小題 (三)
β效應有穩定長波功能之理由。
思路引導 VIP
看到本題，應先回想斜壓不穩定的發生條件為相速存在虛數解（即 (\delta < 0)）。接著分析給定公式中 (\delta) 的各項，觀察當波數 (k) 趨近於零（長波極限）時，(\beta) 相關項對 (\delta) 正負號的影響，並配合上下層波包的「相位鎖定（phase-locking）」機制來解釋物理意義。