高考申論題
109年
[氣象] 大氣動力學
第 二 題
📖 題組：
三、二維純內重力波之控制方程可簡化成： \( \left( \frac{\partial}{\partial t} + u \frac{\partial}{\partial x} \right)^2 \left( \frac{\partial^2 w'}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w'}{\partial z^2} \right) + N^2 \frac{\partial^2 w'}{\partial x^2} = 0 \) 試問：（每小題10分，共20分）
三、二維純內重力波之控制方程可簡化成： \( \left( \frac{\partial}{\partial t} + u \frac{\partial}{\partial x} \right)^2 \left( \frac{\partial^2 w'}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w'}{\partial z^2} \right) + N^2 \frac{\partial^2 w'}{\partial x^2} = 0 \) 試問：（每小題10分，共20分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
說明純內重力波之相速和群速傳播特徵。
思路引導 VIP
面對這類波動特徵題，第一步應假設正弦波解代入控制方程式，求得「頻散關係式（Dispersion Relation）」。接著，利用公式分別推導出相速（頻率除以波數）與群速（頻率對波數的偏微分），最後計算兩者的內積與分量符號，證明其「互相垂直」及「垂直相速與群速反向」兩大核心物理特徵。
小題 (一)
利用波動假設推導上式之頻散關係式。
思路引導 VIP
看到『推導頻散關係式』，核心方法是將物理變數代入標準的平面諧波解 $w' = \hat{w} e^{i(kx + mz - \omega t)}$。將時間與空間的偏微分運算子分別轉換為對應的代數乘數（如 $\partial/\partial t \to -i\omega$, $\partial/\partial x \to ik$），代入原控制方程後消去指數項，即可得到角頻率 $\omega$ 與空間波數 $k, m$ 之間的代數關係式。
純內重力波傳播特徵
💡 內重力波之能量傳播（群速）與相位傳播（相速）互相垂直。
| 比較維度 | 相速 (Phase Velocity) | VS | 群速 (Group Velocity) |
|---|---|---|---|
| 物理定義 | 波相位點移動的速度 | — | 波能量或波包傳播速度 |
| 數學公式 | C = ω / K | — | Cg = ∂ω / ∂K |
| 垂直傳播方向 | 若向下傳播 | — | 能量則向上傳遞(符號相反) |
| 幾何關係 | 平行於波數向量 | — | 垂直於波數向量 |
💬內重力波最顯著特徵是群速（能量）與相速方向垂直且其垂直分量互為相反。
