高考申論題
110年
[氣象] 大氣動力學
第 一 題
📖 題組：
三、中緯度 $\beta$ 平面之正壓羅士比波（barotropic Rossby wave）可用線性化之渦度方程描述如下： $(\frac{\partial}{\partial t} + \bar{u} \frac{\partial}{\partial x}) \nabla^2 \psi' + \beta \frac{\partial \psi'}{\partial x} = 0$ 其中 $\psi'$代表地轉流函數擾動場（perturbation geostrophic streamfunction），$\bar{u}$為平均緯向風（mean zonal wind），並假設平均經向風（mean meridional wind）為零。 (一)請推導此波動之頻散關係。（10 分） (二)請證明此波動相對於平均緯向風恆往西移。（10 分）
三、中緯度 $\beta$ 平面之正壓羅士比波（barotropic Rossby wave）可用線性化之渦度方程描述如下： $(\frac{\partial}{\partial t} + \bar{u} \frac{\partial}{\partial x}) \nabla^2 \psi' + \beta \frac{\partial \psi'}{\partial x} = 0$ 其中 $\psi'$代表地轉流函數擾動場（perturbation geostrophic streamfunction），$\bar{u}$為平均緯向風（mean zonal wind），並假設平均經向風（mean meridional wind）為零。 (一)請推導此波動之頻散關係。（10 分） (二)請證明此波動相對於平均緯向風恆往西移。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請推導此波動之頻散關係。（10 分）
思路引導 VIP
看到求波動的頻散關係，首要直覺就是假設解為二維平面波（通常使用複數指數函數形式）。將假設的波動解代入題幹給定的線性化渦度方程中，計算各項偏微分後提取公因式並消去振幅項，即可代數整理出角頻率（ω）與波數（k, l）之間的關係式。
小題 (二)
請證明此波動相對於平均緯向風恆往西移。（10 分）
思路引導 VIP
本題關鍵在於求出波動的『緯向相速度（zonal phase velocity）』。利用頻散關係式求得相速度 $c_x = \omega/k$ 後，將其減去平均緯向風 $\bar{u}$，並透過分析剩餘項 $-\beta / (k^2+l^2)$ 的正負號，即可從物理意義上證明其傳播方向。