高考申論題
109年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
衛生單位自甲城市12000位居民中，以簡單隨機抽樣法，抽出600位居民檢查其身高與體重，以了解甲城市居民的健康狀況。檢查結果顯示居民的平均體重為65公斤，標準差為9公斤；同時，根據身體質量指數BMI（Body Mass Index），判定其中210位的居民體重過重，174位的居民體重過輕。
衛生單位自甲城市12000位居民中，以簡單隨機抽樣法，抽出600位居民檢查其身高與體重，以了解甲城市居民的健康狀況。檢查結果顯示居民的平均體重為65公斤，標準差為9公斤；同時，根據身體質量指數BMI（Body Mass Index），判定其中210位的居民體重過重，174位的居民體重過輕。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
計算甲城市每位居民平均體重的95%誤差界限。（5分）
思路引導 VIP
- 辨識抽樣法：簡單隨機抽樣 (SRS)。
- 關鍵參數：$N=12000, n=600, \bar{y}=65, s=9$。
小題 (二)
求算甲城市居民體重過重比例與體重過輕比例之差的95%信賴區間，且依此區間判斷居民體重過重的比例是否高於體重過輕的比例。（10分）
思路引導 VIP
- 定義比例：過重比例 $\hat{p}_1 = 210/600$，過輕比例 $\hat{p}_2 = 174/600$。
- 計算差異：$\hat{d} = \hat{p}_1 - \hat{p}_2$。
小題 (三)
現衛生單位主管希望估計每位居民平均體重μ的信賴度為95%且誤差界限為1公斤；同時，估計居民體重過重的比例p的信賴度為95%且誤差界限為0.03，請問目前調查600位足夠嗎？若不夠，需再增加多少位？（10分）
思路引導 VIP
- 本題是樣本數確定 (Sample Size Determination) 問題。
- 針對「平均數」估計：利用公式 $n = \frac{N \sigma^2}{(N-1)D + \sigma^2}$，其中 $D = B^2 / z_{\alpha/2}^2$。此處以樣本標準差 $s=9$ 代替 $\sigma$。
SRS 平均數誤差界限
💡 運用簡單隨機抽樣公式，計算包含有限族群校正之平均數誤差界限。
🔗 平均數誤差界限計算流程
- 1 參數確認 — 列出 N, n, s 等已知數值
- 2 檢核 FPC — 計算 n/N，判定是否需放入校正項
- 3 估計變異數 — 套用 V(y-bar) 公式計算估計值
- 4 臨界值與界限 — 帶入 z=1.96 求出誤差界限 B
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🔄 延伸學習：延伸學習：母體總量 (Total) 的估計及其變異數計算。
