高考申論題
109年
[統計] 統計實務(以實例命題)
第 一 題
📖 題組：
四、高雄市美濃區出產的油紙傘頗富盛名，最近每月的銷售量更常供不應求。假設根據交通部觀光局統計，過去40個月的銷售量符合一AR(1)模式：Xt = 900 + 0.3 Xt-1 +εt；其中εt ~ N(0,1)。 (一)試求美濃區出產的油紙傘銷售量期望值、變異數與ACF（自迴歸函數，ρ(Xt, Xt+k) = Cov(Xt, Xt+k) / (σXt σXt+k)）值。（20分） (二)我們從中觀察40個月的油紙傘銷售量，若最近一個月的銷售量X40=1200把，試預測第41期、第42期、第43期的油紙傘銷售量。（10分）
四、高雄市美濃區出產的油紙傘頗富盛名，最近每月的銷售量更常供不應求。假設根據交通部觀光局統計，過去40個月的銷售量符合一AR(1)模式：Xt = 900 + 0.3 Xt-1 +εt；其中εt ~ N(0,1)。 (一)試求美濃區出產的油紙傘銷售量期望值、變異數與ACF（自迴歸函數，ρ(Xt, Xt+k) = Cov(Xt, Xt+k) / (σXt σXt+k)）值。（20分） (二)我們從中觀察40個月的油紙傘銷售量，若最近一個月的銷售量X40=1200把，試預測第41期、第42期、第43期的油紙傘銷售量。（10分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
試求美濃區出產的油紙傘銷售量期望值、變異數與ACF（自迴歸函數，ρ(Xt, Xt+k) = Cov(Xt, Xt+k) / (σXt σXt+k)）值。（20分）
思路引導 VIP
本題考點為「一階自迴歸模型 (AR(1))」的隨機性質。1. 模型為 $X_t = c + \phi X_{t-1} + \epsilon_t$，其中 $c=900, \phi=0.3, Var(\epsilon)=1$。2. 期望值 $E[X_t]$ 在穩定狀態下應滿足 $E[X_t] = E[X_{t-1}]$，可解代數方程。3. 變異數 $Var(X_t)$ 的公式為 $\frac{\sigma^2_\epsilon}{1-\phi^2}$。4. ACF 值 $\rho_k$ 為 $\phi^k$。
小題 (二)
我們從中觀察40個月的油紙傘銷售量，若最近一個月的銷售量X40=1200把，試預測第41期、第42期、第43期的油紙傘銷售量。（10分）
思路引導 VIP
本題考「點預測」。AR(1) 的預測方式是利用遞迴。1. 第 41 期的預測值是將 $X_{40}$ 代入模型，並令隨機誤差 $\epsilon_{41}$ 的期望值為 0。2. 第 42 期的預測值則是將「第 41 期的預測值」代入，以此類推。這體現了 AR 模型會逐漸向長期平均值 (期望值) 靠攏的特性。