第 一 題

這是一題非常基礎的給分解。只需將表格中的估計值代入簡單線性迴歸方程式 $\hat{Y} = b_0 + b_1X$ 中即可。注意不要寫成母體的 $\beta_0, \beta_1$，必須用樣本的配適方程式符號 $\hat{Y}$ 或加上殘差項。

這裡有三個小問：

1. 解釋 $b_0$ (截距)：當 X(水深)=0 時，Y(多樣性指數)的估計值。

測試「有無線性關係」，在簡單線性迴歸中等同於檢定斜率是否顯著異於 0 ($H_0: \beta_1 = 0$)。由於已經有了 $b_1$ 的估計值及其標準誤差 (SE)，可直接使用 t 檢定：$t = b_1 / SE(b_1)$。接著用剛剛求出的自由度 $df=16$ 去查表比對。結果會發現無法拒絕虛無假說，代表此資料未顯示顯著的線性迴歸關係。

這題是全卷最有鑑別度的一題。報表並未直接給出 $SSR$、$SST$ 等平方和，如何求決定係數 $R^2$？關鍵在於利用「t 統計量」與「F 統計量」以及「$R^2$」的數學關聯。在簡單線性迴歸中，$F = t^2$。同時，$F = \frac{R^2 / 1}{(1-R^2) / (n-2)}$。透過這兩個公式的橋接，可以推導出 $R^2 = \frac{t^2}{t^2 + n - 2}$。將上一題算出的 $t = -1.7037$ 和 $df=16$ 代入即可求解。最後再寫出 $R^2$ 的標準定義：模型可解釋的變異比例。