調查局三等申論題
109年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
考慮複變函數 f(z) = z^2，其中 z 為複數，亦可寫成 z = x + i∙y（x 與 y 為實數，i = \sqrt{-1}）。 (一) f(z)可以寫成 f(z) = f(x + i∙y) = u(x, y) + i∙v(x, y)；求出 u(x, y)及 v(x, y)。（4分） (二)證明 u(x, y)及 v(x, y)在整個複數平面上都滿足柯西-黎曼方程式（Cauchy-Riemann equations）。（6分） (三)在複數平面上，f(z)是否為可解析（analytic）函數？（3分） (四)令 Γ 表示在複數平面上的單位圓之中以逆時針方向從1+i∙0走到0+i∙1的曲線。計算下列積分的結果：\int_{\Gamma} f(z)dz。（7分）
考慮複變函數 f(z) = z^2，其中 z 為複數，亦可寫成 z = x + i∙y（x 與 y 為實數，i = \sqrt{-1}）。 (一) f(z)可以寫成 f(z) = f(x + i∙y) = u(x, y) + i∙v(x, y)；求出 u(x, y)及 v(x, y)。（4分） (二)證明 u(x, y)及 v(x, y)在整個複數平面上都滿足柯西-黎曼方程式（Cauchy-Riemann equations）。（6分） (三)在複數平面上，f(z)是否為可解析（analytic）函數？（3分） (四)令 Γ 表示在複數平面上的單位圓之中以逆時針方向從1+i∙0走到0+i∙1的曲線。計算下列積分的結果：\int_{\Gamma} f(z)dz。（7分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
f(z)可以寫成 f(z) = f(x + i∙y) = u(x, y) + i∙v(x, y)；求出 u(x, y)及 v(x, y)。（4分）
思路引導 VIP
面對複變函數拆解實部與虛部的題型，第一步應直接將 z = x + i∙y 代入原函數 f(z) 中。接著進行代數展開，並利用 i^2 = -1 的性質，將純實數項與帶 i 的虛數項分類整理，即可直接對應出 u(x,y) 與 v(x,y)。
小題 (二)
證明 u(x, y)及 v(x, y)在整個複數平面上都滿足柯西-黎曼方程式（Cauchy-Riemann equations）。（6分）
思路引導 VIP
遇到證明柯西-黎曼方程式（Cauchy-Riemann equations）的題型，應首先列出其定義：∂u/∂x = ∂v/∂y 與 ∂u/∂y = -∂v/∂x。接著將前一小題求得的 u(x,y) 與 v(x,y) 對 x, y 進行一階偏微分，並比較結果以驗證等式是否在全平面成立。
小題 (三)
在複數平面上，f(z)是否為可解析（analytic）函數？（3分）
思路引導 VIP
本題為承先啟後的觀念判斷題。要判斷複變函數是否可解析，應立刻聯想到解析函數的充分條件：「柯西-黎曼 (C-R) 方程式成立」以及「一階偏導數連續」。利用前一小題已證明的 C-R 方程式結果，補上偏導數連續性的說明，即可嚴謹地得出結論。
小題 (四)
令 Γ 表示在複數平面上的單位圓之中以逆時針方向從1+i∙0走到0+i∙1的曲線。計算下列積分的結果：\int_{\Gamma} f(z)dz。（7分）
思路引導 VIP
遇到複數平面上的路徑積分，首要判斷被積函數是否為解析函數。由前一子題已知 f(z)=z^2 為全平面解析（Entire function），故其積分「與路徑無關」，可直接運用複變函數之微積分基本定理代入起終點計算；另外，也可依題意將單位圓路徑參數化（z = e^{i$\theta}$）進行直接積分，展現對向量微積分定義的熟練度。