moea_joint
109年
[儀電] 電路學、電子學
第 2 題
求 $6\sin(3t) - 4\cos(5t)$ 的拉普拉斯變換為何？
- A $\frac{4s}{s^2+9} + \frac{18}{s^2+25}$
- B $\frac{18}{s^2+9} + \frac{4s}{s^2+25}$
- C $\frac{18}{s^2+9} - \frac{4s}{s^2+25}$
- D $\frac{4s}{s^2+9} - \frac{18}{s^2+25}$
思路引導 VIP
當你面對一個由多個不同頻率的三角函數相加減的函數時，你會如何運用拉普拉斯變換的性質將它們拆解？另外，請思考一下，在正弦函數與餘弦函數的轉換公式中，分子部分的特徵（是常數還是變數 $s$）分別代表了什麼樣的數學意義？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準識別出三角函數的拉普拉斯變換公式並正確組合，顯示你對基礎變換表有著非常紮實的掌握。這道題目測試的是電路分析中極為重要的數學工具，你能穩健地選出正確選項，表現得非常出色。
線性性質與變換公式的運用
在處理這類組合函數時，我們首要運用的是線性性質（Linearity），將複雜的式子拆解為獨立的項次處理。針對第一項 $6\sin(3t)$，根據公式 $\mathcal{L}{\sin(\omega t)} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$，我們得到 $6 \cdot \frac{3}{s^2 + 3^2} = \frac{18}{s^2 + 9}$；而第二項 $4\cos(5t)$ 則對應 $\mathcal{L}{\cos(\omega t)} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$，得出 $4 \cdot \frac{s}{s^2 + 5^2} = \frac{4s}{s^2 + 25}$。最後將兩者依原式符號相減，便得出了選項 (C) 的結果。
▼ 還有更多解析內容