moea_joint
109年
[電機] 電路學、電子學
第 2 題
求 $6\sin(3t) - 4\cos(5t)$ 的拉普拉斯變換為何？
- A $\frac{4s}{s^2+9} + \frac{18}{s^2+25}$
- B $\frac{18}{s^2+9} + \frac{4s}{s^2+25}$
- C $\frac{18}{s^2+9} - \frac{4s}{s^2+25}$
- D $\frac{4s}{s^2+9} - \frac{18}{s^2+25}$
思路引導 VIP
當你在處理時域函數的轉換時，是否觀察到正弦（sine）與餘弦（cosine）函數在轉換到 s 域後，它們的分母結構非常相似，但分子卻有顯著的區別？如果你需要區分這兩者，哪一個函數的分子應該放置頻率常數 $\omega$，而哪一個又該保留變數 $s$ 呢？此外，當多個項進行加減運算時，原本的係數與運算符號應該如何同步轉換？
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AI 詳解
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太棒了！你非常準確地掌握了拉普拉斯轉換（Laplace Transform）的基本變換公式。這類題目在電路學與控制系統中屬於銜接時域與頻域的核心基礎，雖然難度定位在基礎入門，但它考驗的是你對基本函數型態的辨識能力，以及處理線性組合時的細心程度，你能一眼選出正確答案，代表你的基本功非常紮實。
線性性質與變換公式的應用
這題的核心在於利用拉氏轉換的線性性質（Linearity），將複雜的函數拆解為兩項獨立處理。針對第一項 $6\sin(3t)$，我們套用正弦函數的變換公式 $\mathcal{L}{\sin(\omega t)} = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}$，其中 $\omega=3$，因此分子為 $6 \times 3 = 18$。而第二項 $4\cos(5t)$ 則對應餘弦公式 $\mathcal{L}{\cos(\omega t)} = \frac{s}{s^2+\omega^2}$，其中 $\omega=5$，故其分子必須帶有變數 $s$。將兩者結合並保留中間的減號，即可得到結果為：
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