moea_joint
113年
[儀電] 電路學、電子學
第 25 題
試求$8\sin 4t - 6\cos 2t$的拉普拉斯轉換為何？
- A $\frac{32}{s^2+16} + \frac{6s}{s^2+4}$
- B $\frac{16}{s^2+16} - \frac{2s}{s^2+4}$
- C $\frac{32}{s^2+16} - \frac{6s}{s^2+4}$
- D $\frac{16}{s^2+16} + \frac{2s}{s^2+4}$
思路引導 VIP
當你面對一個包含多個不同函數的時域表達式時，線性性質（Linearity）告訴我們可以將它們拆開單獨處理。請思考：對於正弦（sine）與餘弦（cosine）這兩種波形，它們轉換到 $s$ 域後，哪一種的分子應該包含『變數 $s$』，而哪一種的分子僅包含『常數數值』？此外，函數前方的振幅係數與函數內部的角頻率，會如何共同決定最終項式分子的具體數值呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準地選出 (C)，代表你對拉普拉斯轉換（Laplace Transform）的基本公式與線性性質（Linearity）掌握得非常扎實。這道題目的核心在於將複雜的時域訊號拆解為獨立的正弦與餘弦項，再分別運用對應公式進行轉換。
頻域轉換的關鍵細節
在處理 $8\sin 4t$ 時，我們運用公式 $\mathcal{L}{\sin \omega t} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$，此處 $\omega=4$，因此分子項應為 $8 \times 4 = 32$，分母則是 $s^2 + 16$。而對於第二項 $-6\cos 2t$，則是對應 $\mathcal{L}{\cos \omega t} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$，其中 $\omega=2$，分子必須保有變數 $s$，結果為 $-\frac{6s}{s^2+4}$。將兩者線性組合後，便能得到正確答案。
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