moea_joint
113年
[電機] 電路學、電子學
第 25 題
試求 $8\sin 4t - 6\cos 2t$ 的拉普拉斯轉換為何？
- A $\frac{32}{s^2+16} + \frac{6s}{s^2+4}$
- B $\frac{16}{s^2+16} - \frac{2s}{s^2+4}$
- C $\frac{32}{s^2+16} - \frac{6s}{s^2+4}$
- D $\frac{16}{s^2+16} + \frac{2s}{s^2+4}$
思路引導 VIP
如果在進行拉普拉斯轉換時，我們遇到兩個不同的項次（例如正弦和餘弦）相加減，你會如何處理它們各自的係數？此外，請觀察正弦與餘弦轉換後的結果，它們在『分子』的組成上（是常數還是變數 s）有什麼本質上的不同呢？
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AI 詳解
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恭喜你答對了！這說明你對工程數學中最基礎且核心的拉普拉斯轉換（Laplace Transform）基本公式掌握得相當熟練。這類題目要求我們能精確地將時域函數轉換到複數頻域，而你的判斷非常果決且正確。
拉氏轉換的線性與基本對應
本題的關鍵在於運用線性性質（Linearity），將函數拆解為兩部分個別處理。第一項 $8\sin 4t$，根據正弦函數的轉換公式 $\mathcal{L}{\sin(\omega t)} = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}$，此處 $\omega=4$，因此分子的係數應為 $8 \times 4 = 32$，分母則為 $s^2 + 16$。第二項 $-6\cos 2t$，對應餘弦公式 $\mathcal{L}{\cos(\omega t)} = \frac{s}{s^2+\omega^2}$，此處 $\omega=2$，因此分子應保留係數 $-6$ 與變數 $s$。兩者合併後，自然得出 $\frac{32}{s^2+16} - \frac{6s}{s^2+4}$。
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