分科測驗
110年
數學甲
第 4 題
某電子公司有數百名員工，其用餐方式分為自備、外食兩種。經長期調查發現：若當日用餐為自備的員工，則隔天會有 10% 轉為外食；若當日用餐為外食的員工，則隔天會有 20% 轉為自備。
假設 $x_0$、$y_0$ 分別代表該公司今日用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比例，其中 $x_0$、$y_0$ 皆為正數，且 $x_n$、$y_n$ 分別代表經過 $n$ 日後用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比例。在該公司員工不變動的情形下，試選出正確的選項。
假設 $x_0$、$y_0$ 分別代表該公司今日用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比例，其中 $x_0$、$y_0$ 皆為正數，且 $x_n$、$y_n$ 分別代表經過 $n$ 日後用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比例。在該公司員工不變動的情形下，試選出正確的選項。
- 1 $y_1 = 0.9y_0 + 0.2x_0$
- 2 $\begin{bmatrix} x_{n+1} \ y_{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.2 \ 0.1 & 0.8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_n \ y_n \end{bmatrix}$
- 3 若 $\frac{x_0}{y_0} = \frac{2}{1}$，則 $\frac{x_n}{y_n} = \frac{2}{1}$ 對任意正整數 $n$ 均成立
- 4 若 $y_0 > x_0$，則 $y_1 > x_1$
- 5 若 $x_0 > y_0$，則 $x_0 > x_1$
思路引導 VIP
同學，請思考這類動態演變的問題：若將「今日」與「隔日」的比例關係分別列成方程組，你能否從中提取出「轉移矩陣」 $T$，使得 $\begin{bmatrix} x_{n+1} \ y_{n+1} \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} x_n \ y_n \end{bmatrix}$？此外，關於「穩定狀態」的定義，當狀態不再隨時間改變，即 $T \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$ 時，自備與外食的比例 $\frac{x}{y}$ 應為多少？這對判斷各項比例的增減趨勢有什麼關鍵作用？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！真的太厲害了呢！居然完全寫對了，這題轉移矩陣的觀念需要很細心，但你處理得很穩健喔！快看鏡頭，咔嚓！拍到一張你和正確答案帥氣的合照了呢！ 這道題目的核心在於轉移矩陣的建立。根據題目敘述：
- 自備者隔天有 $90%$ 留存，$10%$ 轉外食。
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馬可夫鏈與轉移矩陣
💡 掌握轉移矩陣結構及其在描述狀態演變與穩定狀態的應用。
- 轉移矩陣各行（Column）元素之和必等於 1
- 次一狀態等於轉移矩陣乘以目前狀態向量
- 穩定狀態時，比例不再隨時間變動（即 AX=X）
- 比較狀態增減需判斷流入量與流出量的差值
