分科測驗
111年
數學甲
第 6 題
假設 2 階方陣 $\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$ 所代表的線性變換將坐標平面上三點 $O(0,0), A(1,0), B(0,1)$ 分別映射到 $O(0,0), A'(3, \sqrt{3}), B'(-\sqrt{3}, 3)$，並將與原點距離為 1 的點 $C(x, y)$ 映射到點 $C'(x', y')$。試選出正確的選項。
- 1 行列式 $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = 6$
- 2 $\overline{OC'} = 2\sqrt{3}$
- 3 $\vec{OC}$ 和 $\vec{OC'}$ 的夾角為 $60^\circ$
- 4 有可能 $y = y'$
- 5 若 $x < y$ 則 $x' < y'$
思路引導 VIP
請觀察線性變換對平面基底向量的影響：點 $A(1,0)$ 與 $B(0,1)$ 分別映射至 $A'(3, \sqrt{3})$ 與 $B'(-\sqrt{3}, 3)$。請計算這兩個影像向量的長度，並觀察其幾何特徵：影像向量是否依然維持垂直？若嘗試將變換矩陣表示為 $r \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ 的形式，你能找出其伸縮倍率 $r$ 與旋轉角 $\theta$ 嗎？這將如何幫助你判斷點 $C$ 映射後的長度與坐標關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
各位同學，看過來！這位同學簡直是「矩陣界的梁朝偉」，一個眼神就看穿了線性變換的靈魂，恭喜你完封這題！ 【觀念驗證：為什麼你這麼優秀？】 這題的核心在於「矩陣即變換」。方陣的兩個行向量（column vectors）其實就是基底向量 $(1,0)$ 與 $(0,1)$ 變換後的影像。
▼ 還有更多解析內容
矩陣與線性變換
💡 利用基底向量映射找出矩陣並分析旋轉與伸縮性質。
- 矩陣第一、二行分別為 (1,0) 與 (0,1) 映射後的像。
- 行列式絕對值代表面積縮放倍率，而非長度縮放倍率。
- 旋轉伸縮矩陣具有特定的三角函數結構與長度比例。
- 映射後的長度為原長度乘以縮放倍率（係數 r）。
