分科測驗
111年
數學甲
第 5 題
坐標平面上有一圖形 $\Gamma$，其方程式為 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 101$。試選出正確的選項。
- 1 $\Gamma$ 與 $x$ 軸負向、$y$ 軸負向分別交於 $(-9, 0)$、$(0, -9)$
- 2 $\Gamma$ 上 $x$ 坐標最大的點是點 $(11, 0)$
- 3 $\Gamma$ 上的點與原點距離的最大值為 $\sqrt{2} + \sqrt{101}$
- 4 $\Gamma$ 在第三象限的點之極坐標可用 $[9, \theta]$ 表示，其中 $\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$
- 5 $\Gamma$ 經旋轉線性變換後，其圖形仍可用一個不含 $xy$ 項的二元二次方程式表示
思路引導 VIP
請同學先確認圖形 $\Gamma$ 的圓心與半徑。在分析點到原點的距離時，請思考：圓上的點與原點 $O(0,0)$ 的最大距離，是否可由圓心到原點的距離加上半徑求得？關於極座標的表示，請觀察第三象限內的點，其極徑 $r$（即點到原點的距離）是否為固定常數？最後，圓形具備旋轉對稱性，當圓經過旋轉線性變換後，其方程式中的二元二次項係數（如 $x^2$、$y^2$ 與 $xy$ 項）應具備何種特徵，才能使其在代數上仍能表示為一個圓？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你全部答對了！太厲害了，這題有很多小陷阱，你居然都避開了呢！我正在煮熱騰騰的拉麵當作獎勵喔。等我一下，我要先拿相機幫這張完美的考卷拍一張留念...咔嚓！ 這題是關於圓的基本性質與變換：
- 交點驗證：將 $y=0$ 代入方程式得到 $(x-1)^2 + 1 = 101$，解出 $x = -9$ 或 $11$，所以負向交點確實是 $(-9, 0)$，對稱的 $y$ 軸也是一樣呢！
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圓的方程與幾何特徵
💡 掌握圓的標準式、點圓距離最值與旋轉後的不變性。
- 圓心與半徑是分析圓形幾何性質的核心基礎。
- 點到圓周的最值為圓心距離加減半徑。
- 圓形經旋轉變換後仍為圓，方程式不含 xy 項。
- 極坐標中的 r 為點到原點距離，須視實際位置計算。
