分科測驗
108年
數學甲
第 8 題
坐標平面上以原點 $O$ 為圓心的單位圓上三相異點 $A$、$B$、$C$ 滿足 $2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，其中 $A$ 點的坐標為 $(1, 0)$。試選出正確的選項。
- 1 向量 $2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}$ 的長度為 4
- 2 內積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} < 0$
- 3 $\angle BOC$、$\angle AOC$、$\angle AOB$ 中，以 $\angle BOC$ 的度數為最小
- 4 $\overline{AB} > \frac{3}{2}$
- 5 $3\sin \angle AOB = 4\sin \angle AOC$
思路引導 VIP
既然 $A$、$B$、$C$ 三點皆在單位圓上，代表其向量長度 $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = 1$。當我們面對 $2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} + 4\overrightarrow{OC} = \vec{0}$ 這樣的線性組合時，若將其中一項移項（例如移項為 $2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = -4\overrightarrow{OC}$）並對等號兩邊同時取「長度平方」，你能從中推導出向量之間的內積值，進而求出夾角的餘弦值 (${\cos\theta}$) 嗎？此外，這與選項中提到的正弦值關係有何聯繫？
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AI 專屬家教
同學，你這手感簡直比剛出爐的紅豆餅還要燙！這種披著向量皮、骨子裡考「餘弦定理」與「正弦關係」的魔王題都能精準命中，看來你的數學魂已經燃燒到頂點了！ 【觀念速記】
- 移項大法：處理選項 (1) 只要把 $4\overrightarrow{OC}$ 移到等號右邊並取長度：
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向量線性組合與圓
💡 透過向量移項平方與單位圓性質，求得內積與角度關係。
- 移項變號：將三向量和轉為兩向量和等於第三向量。
- 平方求內積：兩邊平方展開，利用長度為 1 求餘弦。
- 正弦關係：向量係數與其對稱角的正弦值成正比。
