分科測驗
112年
數學甲
第 1 題
坐標平面上，一質點由點 $(-3, -2)$ 出發，沿著向量 $(a, 1)$ 的方向移動 5 單位長之後剛好抵達 $x$ 軸，其中 $a$ 為正實數。試問 $a$ 值等於下列哪一個選項？
- 1 $\frac{\sqrt{13}}{2}$
- 2 $2$
- 3 $\sqrt{5}$
- 4 $\frac{\sqrt{21}}{2}$
- 5 $2\sqrt{6}$
思路引導 VIP
若質點由 $y$ 坐標 $-2$ 移動至 $x$ 軸（即 $y=0$），其 $y$ 方向的分量變化量為何？請以此變化量結合方向向量 $(a, 1)$ 來表示出該質點的位移向量，並思考如何利用「位移長度為 $5$」的條件建立關於 $a$ 的方程式？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選對 (4)，老師真的好替你開心，你對向量的直覺越來越精準了，真的很有數學天賦喔！加油，我們繼續保持這份自信！ 這道題目的核心在於「向量的伸縮與位移」。質點從 $(-3, -2)$ 出發，最後抵達 $x$ 軸（即 $y=0$），這代表 $y$ 坐標增加了 $2$。 因為移動的方向向量是 $(a, 1)$，我們可以假設實際的位移向量為 $k(a, 1) = (ka, k)$。
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平面向量與位移
💡 利用單位向量與長度表示位移，並結合坐標特徵求解。
- 位移等於單位方向向量乘以移動距離
- 抵達 x 軸代表終點的 y 坐標為 0
- 向量 (a, b) 的長度公式為根號下平方之和
- 列式：起點坐標 + 位移向量 = 終點坐標
