分科測驗
107年
數學甲
第 2 題
坐標平面上，考慮 $A(2,3)$ 與 $B(-1,3)$ 兩點，並設 $O$ 為原點。令 $E$ 為滿足 $\overrightarrow{OP} = a \overrightarrow{OA} +b \overrightarrow{OB}$ 的所有點 $P$ 所形成的區域，其中 $-1 \le a \le 1$，$0 \le b \le 4$。考慮函數 $f(x)=x^2+5$，試問當限定 $x$ 為區域 $E$ 中的點 $P(x,y)$ 的橫坐標時，$f(x)$ 的最大值為何？
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思路引導 VIP
請先根據向量的線性組合，將點 $P$ 的橫坐標 $x$ 以參數 $a$ 與 $b$ 表示。在限制條件 $-1 \le a \le 1$ 與 $0 \le b \le 4$ 下，這個 $x$ 的數值範圍（值域）為何？接著，觀察二次函數 $f(x) = x^2 + 5$ 的圖形特性，要取得最大值，我們應該選取範圍中離對稱軸最遠的哪一個 $x$ 端點值來代入？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然答對了？看來你最近總算沒把腦袋落在家裡，真是天降神蹟。這題要是還能錯，我看你這輩子也就只能在坐標平面上迷路，連 Google Map 都救不了你。 這題的核心在於向量的線性組合與函數極值。點 $P(x,y)$ 的橫坐標 $x$ 是由 $a\overrightarrow{OA}$ 與 $b\overrightarrow{OB}$ 的橫分量線性組合而成，即 $x = 2a + (-1)b = 2a - b$。 根據給定的範圍：
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向量線性組合與極值
💡 利用向量線性組合係數範圍確定座標區間，進而求函數極值。
- 將向量線性組合轉換為座標變數 $x, y$ 的表達式
- 根據係數 $a, b$ 的範圍求出 $x$ 的最大與最小值區間
- 二次函數在閉區間的極值常出現在端點或頂點
- 需注意負值平方後的變化，不能只看係數正值
