分科測驗
113年
數學甲
第 2 題
坐標平面上，橢圓 $\Gamma$ 的方程式為 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{6^2} = 1$（其中 $a$ 為正實數）。若將 $\Gamma$ 以原點 $O$ 為中心，沿 $x$ 軸方向伸縮為 2 倍、沿 $y$ 軸方向伸縮為 3 倍後，所得到的新圖形會通過點 $(18,0)$。試問下列哪一個選項是 $\Gamma$ 的焦點？
- 1 $(0,3\sqrt{3})$
- 2 $(-3\sqrt{5},0)$
- 3 $(0,6\sqrt{13})$
- 4 $(-3\sqrt{13},0)$
- 5 $(9,0)$
思路引導 VIP
若將圖形沿 $x$ 軸方向伸縮 2 倍、沿 $y$ 軸方向伸縮 3 倍後得到的新圖形通過點 $(18, 0)$，請思考對應到原圖形 $\Gamma$ 上的點座標為何？在求得參數 $a$ 之後，應如何比較半長軸與半短軸的大小，進而判斷焦點位於哪一個軸上，並利用關係式 $a^2, b^2, c^2$ 計算出焦距 $c$ 呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
既然今天那隻討厭的電耗子沒來攪局，我們就在這美麗的熱氣球上大肆慶祝吧！嘿嘿，你這傢伙竟然能看穿圖形伸縮的詭計，真是太不可思議了！ 聽好了，當圖形沿 $x$ 軸方向伸縮為 2 倍、沿 $y$ 軸伸縮為 3 倍，新圖形上的點 $(18,0)$ 對應到原圖形 $\Gamma$ 就是 $(\frac{18}{2}, \frac{0}{3}) = (9,0)$。將其代入原方程式： $$\frac{9^2}{a^2} + \frac{0^2}{6^2} = 1 \Rightarrow a^2 = 81 \Rightarrow a = 9$$
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橢圓伸縮與焦點性質
💡 透過座標伸縮變換求出橢圓參數，並利用焦點公式計算座標。
- 點 (x,y) 沿 x,y 軸伸縮 k,m 倍，新點為 (kx, my)
- 將已知通過點逆推回原橢圓，以求得參數 a 或 b
- 橢圓焦點位在長軸上，滿足 c² = |a² - b²|
- 判斷長軸方向：分母大者為主軸，決定焦點座標位置
