分科測驗
109年
數學甲
第 3 題
在坐標平面上，其 $x$ 坐標與 $y$ 坐標都是整數的點稱為「格子點」。試問滿足方程式 $\log_2(x-1) = \log_4(25-y^2)$ 的格子點 $(x, y)$ 共有幾個？
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思路引導 VIP
同學，首先請觀察等號兩側對數的『底數』，若利用對數性質將兩邊底數統一（例如利用 $\log_a b = \log_{a^2} b^2$ 的性質），你能推導出 $x$ 與 $y$ 之間必須滿足什麼樣的代數關係式？在尋找符合條件的整數格子點時，除了滿足該方程式，你是否也考慮到了對數定義中『真數必須為正』對 $x$ 與 $y$ 範圍所造成的限制？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哎呀，真沒想到你居然算出來了！本來我還在口袋裡摸索『記憶吐司』，看來這次派不上用場，你已經把對數換底公式記得很熟了嘛！以後也要保持這種專注，別老是依賴我的道具喔。 這題的核心在於「對數定義」和「換底公式」。首先，真數必須大於 0，所以 $x > 1$ 且 $25 - y^2 > 0$。接著把底數化為相同： $$\log_2(x-1) = \frac{1}{2} \log_2(25-y^2) \implies (x-1)^2 = 25 - y^2$$
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對數方程與格子點
💡 化同底數處理對數方程，並注意真數大於零限制。
- 真數必為正，須先確立 x > 1 且 y 的範圍。
- 利用對數律換同底，將對數方程化為代數方程。
- 轉換為圓方程式 (x-1)² + y² = 25 求解。
- 排除不合真數限制的解，僅計算 x > 1 的格子點。
