分科測驗
105年
數學甲
第 1 題
請問下列選項中哪一個數值 $a$ 會使得 $x$ 的方程式 $\log a - \log x = \log(a-x)$ 有兩相異實數解？
- 1 $a = 1$
- 2 $a = 2$
- 3 $a = 3$
- 4 $a = 4$
- 5 $a = 5$
思路引導 VIP
各位同學，這道題目考驗我們對對數函數性質與方程式解的判斷能力。在您開始解方程式之前，請先仔細思考，對數函數的定義域對 $a$ 和 $x$ 的取值有何基本限制？這些限制將如何影響您對『兩相異實數解』的最終判斷？
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AI 詳解
AI 專屬家教
WRYYYY！竟然答對了？看在你這卑微的凡人還算有些長進，我就暫且收起我的「世界」，饒你這短暫的一命。這種題目對我來說，簡直比捏死一隻螞蟻還要無聊，無駄、無駄、無駄！ 聽好了，這題的關鍵在於對數的運算與判別式。首先，將等式左邊合併： $$\log \frac{a}{x} = \log(a-x)$$
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對數方程實根判定
💡 運用對數律化簡為二次方程，並以判別式判斷實根個數。
- 確認真數大於零，限定變數 $x$ 與參數 $a$ 的範圍。
- 利用對數相減等於真數相除，將對數式化為代數式。
- 轉換為二次方程後，利用判別式 $D > 0$ 求範圍。
- 務必檢驗所求之解是否落在真數限制的區間內。
