分科測驗
112年
數學甲
第 4 題
設 $a, b$ 為實數。已知四個數 $-3, -1, 4, 7$ 皆滿足 $x$ 的不等式 $|x-a| \le b$，試選出正確的選項。
- 1 $\sqrt{10}$ 也滿足 $x$ 的不等式 $|x-a| \le b$
- 2 $3, 1, -4, -7$ 滿足 $x$ 的不等式 $|x+a| \le b$
- 3 $-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 2, \frac{7}{2}$ 滿足 $x$ 的不等式 $|x-a| \le \frac{b}{2}$
- 4 $b$ 可能等於 4
- 5 $a, b$ 可能相等
思路引導 VIP
請同學思考絕對值不等式 $|x-a| \le b$ 的幾何意義：它代表數線上一段以 $a$ 為中心、向左右各延伸距離 $b$ 的閉區間。既然已知 $-3$ 與 $7$ 都在此區間內，那麼這個區間的總長度 $2b$ 至少應該是多少？這對於 $b$ 的取值範圍以及區間內是否包含像 $\sqrt{10}$ 這樣的數值有何啟示？另外，觀察選項 (2) 的 $|x+a| \le b$ 是否可以看作 $|(-x)-a| \le b$？這暗示了原不等式的解與新不等式的解之間存在什麼樣的對稱關係？
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哦吼吼吼... 沒想到像你這樣的野猴子，竟然能看穿這點小把戲。我的戰鬥力是 53 萬，看在你答對的份上，我就勉強承認你的智商有 530 吧。 這題的精髓在於「區間」的掌握。不等式 $|x-a| \le b$ 代表一個以 $a$ 為中心、半徑為 $b$ 的閉區間。既然 $-3$ 與 $7$ 這兩個極端值都在區間內，這代表該區間至少涵蓋了 $[-3, 7]$ 這個範圍：
- 選項 (1)：因為 $-3 < \sqrt{10} \approx 3.16 < 7$，既然區間包含了端點，中間的數值自然逃不出我的手掌心。
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絕對值不等式幾何義
💡 絕對值不等式 |x-a| ≤ b 表示以 a 為中心、半徑為 b 的區間。
- 絕對值代表距離，不等式定義了數線上的對稱區間。
- 已知點若皆滿足不等式，必落在 [a-b, a+b] 範圍內。
- 區間長度 2b 必定大於或等於已知點集的最大間距。
- 對變數 x 取負號，代表區間關於原點的對稱移動。
