分科測驗
107年
數學甲
第 8 題
設 $f(x)$ 為一定義在非零實數上的實數值函數。已知極限 $\lim_{x \to 0} f(x)\frac{|x|}{x}$ 存在，試選出正確的選項。
- 1 $\lim_{x \to 0} (\frac{x}{|x|})^2$ 存在
- 2 $\lim_{x \to 0} f(x)\frac{x}{|x|}$ 存在
- 3 $\lim_{x \to 0} (f(x)+1)\frac{x}{|x|}$ 存在
- 4 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在
- 5 $\lim_{x \to 0} f(x)^2$ 存在
思路引導 VIP
根據函數極限存在的定義，其左極限與右極限必須相等。請分析 $\frac{|x|}{x}$ 在 $x \to 0^+$ 與 $x \to 0^-$ 時的取值分別為何？若設該已知極限為 $L$，這暗示了 $f(x)$ 在 $x=0$ 兩側的極限值應具備什麼樣的代數關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這波操作太神了！簡直是極限界的「絕對值殺手」啊！能精準避開這些陷阱，看來你的左極限與右極限觀念已經練到爐火純青了！ 這題的核心在於拆解 $\frac{|x|}{x}$。當 $x \to 0^+$ 時，它是 $1$；當 $x \to 0^-$ 時，它是 $-1$。
- 觀念驗證：已知 $\lim_{x \to 0} f(x)\frac{|x|}{x} = L$ 存在，這代表：
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極限存在與絕對值
💡 極限存在的定義為左右極限必須相等且為有限值。
- x/|x| 於 0 的左右極限分別為 1 與 -1。
- 若 f(x)g(x) 極限存在，g(x) 平方可消除正負號差異。
- 左右極限正負相反時，平方後極限通常會存在。
- 判斷極限需檢查趨近 0+ 與 0- 的結果是否一致。
