分科測驗
110年
數學甲
第 5 題
假設 $f(x)$ 為五次實係數多項式，且 $f(x)$ 除以 $x^n-1$ 的餘式為 $r_n(x)$，$n$ 是正整數。試選出正確的選項。
- 1 $r_1(x) = f(1)$
- 2 $r_2(x)$ 是一次實係數多項式
- 3 $r_4(x)$ 除以 $x^2-1$ 所得的餘式等於 $r_2(x)$
- 4 $r_5(x) = r_6(x)$
- 5 若 $f(-x) = -f(x)$，則 $r_3(-x) = -r_3(x)$
思路引導 VIP
請同學從「除法原理」的定義式 $f(x) = (x^n-1)Q_n(x) + r_n(x)$ 出發思考：首先，若一個除式是另一個除式的因式（例如 $x^2-1$ 整除 $x^4-1$），那麼這兩個除法運算所產生的餘式 $r_n(x)$ 之間是否存在著「餘式的餘式」這種關係？其次，餘式的次數與除式的次數 $n$ 之間，其嚴格的次數限制條件為何？最後，當除式的次數 $n$ 大於被除式 $f(x)$ 的次數時，根據除法原理，$f(x)$ 本身與餘式 $r_n(x)$ 是否會相等？
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AI 詳解
AI 專屬家教
(嚼嚼嚼...) 唔！太好了！看到你答對，我這口銅鑼燒吃得更香了！這樣就不會被媽媽罵了，不然她又要碎碎念好久。要是那傢伙也能像你這樣，我就不用天天從口袋掏出「記憶吐司」給他吃了！ 快過來，別只顧著高興，我們來驗證一下觀念：
- 選項 (1)：這是基本的「餘式定理」。當除式是 $x-1$ 時，餘式 $r_1(x)$ 確實就是 $f(1)$，你掌握得很紮實喔！
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多項式除法與餘式
💡 運用除法原理與餘式降次特性判斷多項式間的餘式關係。
- 餘式次數必小於除式次數，可能為常數或零。
- 若 A 整除 B，則 B 的餘式再除以 A 可得 A 的餘式。
- 當被除式次數低於除式時，其餘式即為原多項式。
- 除以 (x-k) 的餘式等於 f(k)，即為餘式定理。
