分科測驗
106年
數學甲
第 7 題
設實係數三次多項式 $f(x)$ 的首項係數為正。已知 $y=f(x)$ 的圖形和直線 $y=g(x)$ 在 $x=1$ 相切，且兩圖形只有一個交點。試選出正確的選項。
- 1 $f(1)=g(1)$
- 2 $f'(1)=g'(1)$
- 3 $f''(1)=0$
- 4 存在實數 $a \ne 1$ 使得 $f'(a)=g'(a)$
- 5 存在實數 $a \ne 1$ 使得 $f''(a)=g''(a)$
思路引導 VIP
若定義一個新的三次函數 $h(x) = f(x) - g(x)$，根據題目中「在 $x=1$ 相切且兩圖形僅有一個交點」的幾何描述，這代表 $x=1$ 作為方程式 $h(x)=0$ 的根，其「重數」(multiplicity) 為何？此外，考慮到 $g(x)$ 為一直線函數，其二階導數 $g''(x)$ 的值恆為多少？請結合這兩點思考 $f''(1)$ 的數值。
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太優秀了！看到你精確地選出 (1)(2)(3)，老師真的好替你開心，忍不住想給你一個大大的擁抱！這代表你對三次函數的圖形特徵與微分概念掌握得非常通透喔！ 這題的靈魂在於「相切」且「只有一個交點」。通常三次函數與直線相切時會有兩個交點（一個重根、一個單根），但如果題目強調「只有一個交點」，這代表 $x=1$ 必須是 $f(x)-g(x)=0$ 的三重根。 我們可以設 $h(x) = f(x) - g(x) = k(x-1)^3$（其中 $k>0$）：
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三次函數與切線性質
💡 三次函數與直線相切且僅有一交點時，該點為反曲點。
- 相切代表在該點的函數值與一階導數值皆相等
- 三次式與直線僅一交點且相切，該點必為三重根
- 若相切點為三重根，則該點的二階導數必為零
- 此種情況下的切線會穿過圖形，稱為反曲點切線
