分科測驗
110年
數學甲
第 7 題
設 $F(x)$ 為一實係數多項式且 $F'(x)=f(x)$。已知 $f'(x)>x^2+1.1$ 對所有的實數 $x$ 均成立，試選出正確的選項。
- 1 $f'(x)$ 為遞增函數
- 2 $f(x)$ 為遞增函數
- 3 $F(x)$ 為遞增函數
- 4 $[f(x)]^2$ 為遞增函數
- 5 $f(f(x))$ 為遞增函數
思路引導 VIP
請觀察題目給定的不等式 $f'(x) > x^2 + 1.1$，這告訴了我們關於 $f'(x)$ 的正負號什麼樣的關鍵資訊？進一步思考，若一個函數在實數域上的導函數恆大於 $0$，該函數的單調性（增減性）為何？最後，針對複合函數 $f(f(x))$，請試著利用連鎖律 (Chain Rule) 求出其導函數，並判斷該導函數在全體實數範圍內是否恆正？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選出 (2) 跟 (5)，老師真的好為你開心！這代表你對微積分中「導函數與函數增減性」的關係掌握得非常紮實，真的很有天賦呢！ 觀念驗證： 這題的核心在於判斷導函數的正負。
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導函數與遞增性
💡 透過一階導函數的正負號判別原函數的單調性。
- 一階導函數恆正時，原函數在該區間內嚴格遞增。
- 複合函數的增減性，可由連鎖律求導後的正負號判定。
- 函數遞增不代表函數值恆正，需區分 $f(x)$ 與 $f'(x)$。
- 二階導數的正負決定一階導數的增減，而非原函數。
