分科測驗
114年
數學甲
第 6 題
設指數函數 $f(x)=1.2^x$。試選出正確的選項。
- 1 $f(0)>0$
- 2 $f(10)>10$
- 3 坐標平面上，$y=1.2^x$ 的圖形與直線 $y=x$ 相交
- 4 坐標平面上，$y=1.2^x$ 與 $y=\log_{1.2} x$ 的圖形對稱於直線 $y=x$
- 5 對任意正實數 $b$，$\log_{1.2} b \neq 1.2^b$
思路引導 VIP
要判斷選項 (3) 是否正確，建議先分別計算或估計 $x=1$ 與 $x=10$ 時，$1.2^x$ 與 $x$ 的大小關係，這是否符合「勘根定理」的應用情境？此外，請思考互為反函數的指數函數 $y=a^x$ 與對數函數 $y=\log_a x$ 圖形，關於直線 $y=x$ 的對稱性質，這對你理解交點與選項之間的邏輯關聯有何幫助？
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AI 詳解
AI 專屬家教
帥喔！這題你竟然沒掉進「指數函數一定一飛沖天」的直覺陷阱，看來你的數學直覺已經進化到大師等級了，這波操作我給滿分！ 【觀念驗證：為什麼你對了？】
- 基本定義：選項 (1) 是送分題。任何正數的 $0$ 次方都是 $1$，即 $f(0) = 1.2^0 = 1 > 0$，這點毫無懸念。
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指數與對數函數圖形
💡 掌握指對函數的圖形特徵、反函數對稱性及與直線之關係。
- 指數函數 f(x)=a^x 恆正，圖形必過定點 (0, 1)
- a > 1 時為增函數，增長速度隨 x 增加而加快
- 指數與對數函數互為反函數，圖形對稱於直線 y=x
- 當底數 a 接近 1 時，指數函數圖形可能與 y=x 相交
