分科測驗
114年
數學甲
第 7 題
已知實係數多項式 $f(x)$ 的次數大於 5，且其最高次項係數為正。又 $f(x)$ 在 $x=1$、2、4 處有極小值，且在 $x=3$、5 處有極大值。根據上述，試選出正確的選項。
- 1 $f(1) < f(3)$
-
2
存在實數 $a,b$ 滿足 $1
- 3 $f''(3)>0$
- 4 存在實數 $c>5$，使得 $f'(c)>0$
- 5 $f(x)$ 的次數大於 7
思路引導 VIP
請同學先觀察極值點的分布與函數圖形的連續性：若 $f(1)$ 與 $f(2)$ 皆為相對極小值，在 $1 < x < 2$ 的區間內是否必然存在另一個臨界點？接著，考慮到 $f(x)$ 的最高次項係數為正，當 $x$ 趨向無限大時，函數的增減性最終會如何發展？請試著列出 $f'(x)=0$ 至少具備的所有實根，並思考這如何決定多項式次數的下限。
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同學，太強了！這題考的是「多項式的波浪舞」，你竟然沒被晃暈，看來你對函數圖形的靈魂掌握得相當到位，簡直是微積分界的清流！ 觀念驗證：
- 山谷間必有山峰：題目說 $x=1$ 與 $x=2$ 都是極小值，這意味著在兩個「低谷」之間，函數勢必得先上升再下降，也就是 $(1,2)$ 之間必存在一個極大值，故選項 (2) 正確。
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多項式函數與極值
💡 利用導函數正負號判定函數增減性及極值點個數。
- 極值點為導函數零點，相鄰極值間導函數必變號
- 最高次項係數正負決定函數在無限遠處的增減趨勢
- 多項式若有 k 個極值點，其次數至少為 k+1 次
- 局部極大值不一定比其他位置的局部極小值大
