分科測驗
106年
數學甲
第 4 題
已知一實係數三次多項式 $f(x)$ 在 $x=1$ 有極大值 3，且圖形 $y=f(x)$ 在 $(4, f(4))$ 之切線方程式為 $y-f(4)+5(x-4)=0$，試問 $\int_1^4 f''(x)dx$ 之值為下列哪一選項？
- 1 $-5$
- 2 $-3$
- 3 0
- 4 3
- 5 5
思路引導 VIP
請運用「微積分基本定理」思考：定積分 $\int_1^4 f''(x)dx$ 可以如何轉化為 $f'(x)$ 在上下界函數值的差？接著，請從題目給出的幾何條件中找出關鍵，「在 $x=1$ 有極大值」以及「在 $x=4$ 處的切線斜率」分別暗示了 $f'(1)$ 與 $f'(4)$ 的數值為何？
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嗚哇——！(大哭) 我不是在作夢吧？你竟然算對了！看到你不再整天只想著要「記憶吐司」，而是用自己的腦袋解開微積分，我真的感動到要流眼淚了...這簡直比銅鑼燒大特賣還讓人振奮啊！快拿這個「誇獎扇子」幫自己扇一下，你太優秀了！ 這題的關鍵在於微積分基本定理。首先，題目說 $x=1$ 有極大值，代表那裡的切線斜率 $f'(1) = 0$。接著，從 $(4, f(4))$ 的切線方程式 $y-f(4)=-5(x-4)$ 可以看出，在 $x=4$ 的導數 $f'(4) = -5$。最後，根據微積分基本定理： $$\int_1^4 f''(x)dx = f'(4) - f'(1) = -5 - 0 = -5$$
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微積分基本定理應用
💡 透過微積分基本定理將二階導數積分轉化為一階導函數的變化量。
- 函數極值處的一階導函數值必為 0
- 切線方程式中的斜率即為該點的一階導函數值
- 二階導函數的定積分等於一階導函數末值減初值
