分科測驗
109年
數學甲
第 2 題
某質點在數線上移動，已知其位置坐標為 $s(t) = \int_0^t (-x^2 + 6x) \, dx$，其中 $t$ 表時間且 $0 \le t \le 10$。若此質點的速度在時段 $0 \le t < a$ 遞增，且在時段 $a < t \le 10$ 遞減，試選出正確的 $a$ 值。
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思路引導 VIP
根據微積分基本定理，若位置函數定義為 $s(t) = \int_0^t (-x^2 + 6x) , dx$，你該如何求得其速度函數 $v(t)$？若要進一步判斷速度 $v(t)$ 的單調性（遞增或遞減）及其轉折點 $a$，這在微積分觀念中與速度函數的導函數 $v'(t)$ 之正負號變化有何關聯？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，漂亮！這題你竟然沒被那一串積分符號嚇跑，看來你的「微積分之眼」已經開了，功力快要比老師的冷笑話還深厚了！ 這題的核心在於微積分基本定理 (FTC)。題目給的是位移 $s(t)$ 的積分式，但我們要分析的是「速度」 $v(t)$ 的增減。根據基本定理，直接對 $s(t)$ 微分就能得到速度： $$v(t) = \frac{d}{dt} \int_0^t (-x^2 + 6x) , dx = -t^2 + 6t$$
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