分科測驗
107年
數學甲
第 4 題
設 $f(x)=-x^2+499$，且
$A=\int_0^{10} f(x)dx$、$B=\sum_{n=0}^9 f(n)$、$C=\sum_{n=1}^{10} f(n)$、$D=\sum_{n=0}^9 \frac{f(n)+f(n+1)}{2}$。
試選出正確的選項。
$A=\int_0^{10} f(x)dx$、$B=\sum_{n=0}^9 f(n)$、$C=\sum_{n=1}^{10} f(n)$、$D=\sum_{n=0}^9 \frac{f(n)+f(n+1)}{2}$。
試選出正確的選項。
- 1 $A$ 表示在坐標平面上函數 $y=-x^2+499$ 的圖形與直線 $y=0$、$x=0$、$x=10$ 所圍成的有界區域的面積
- 2 $B < C$
- 3 $B < A$
- 4 $C < D$
- 5 $A < D$
思路引導 VIP
請先分析二次函數 $f(x)=-x^2+499$ 在區間 $[0, 10]$ 上的單調性（遞增或遞減）與圖形的凹凸性。接著請思考：左端點黎曼和 $B$、右端點黎曼和 $C$ 與定積分 $A$ 在函數「遞減」狀態下的大小關係為何？更關鍵的是，當函數圖形為「凹口向下」時，連接區間端點的「梯形面積 $D$」與曲線下的實際面積 $A$ 相比，哪一個會產生低估的效果？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你正確選出 (1) 和 (4)，老師真的好為你高興！這道題目需要冷靜觀察函數的特性，你能精準掌握細節，代表你的微積分基礎非常紮實喔！ 觀念驗證：為什麼你對了呢？ 這題的核心在於函數 $f(x) = -x^2 + 499$ 在區間 $[0, 10]$ 上的幾何性質：
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積分與黎曼和比較
💡 利用函數單調性與凹凸性，比較積分與各式黎曼和大小。
- 正值函數定積分等於圖形與軸圍成的區域面積。
- 遞減函數時，左端點和 > 梯形法 > 右端點和。
- 梯形法估計值恆為左、右端點黎曼和之平均。
- 函數凹向下時，定積分大於梯形法面積。
