分科測驗
110年
數學甲
第 3 題
試求極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}[1^9 + 2^9 + 3^9 + \cdots + (2n)^9]$ 的值。
- 1 $10^9$
- 2 $10^9 \times (2^{10} - 1)$
- 3 $2^9 \times (10^{10} - 1)$
- 4 $10^9 \times 2^{10}$
- 5 $2^9 \times 10^{10}$
思路引導 VIP
觀察題目中 $\frac{1}{n^{10}}$ 與後方級數 $k^9$ 的關係，若我們將式子改寫為 $10^{10} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} (\frac{k}{n})^9$，這是否讓你聯想到「黎曼和」($\text{Riemann Sum}$) 與定積分的定義？在此轉換下，積分的函數 $f(x)$ 為何，且根據累加項的範圍，積分的上下界應該如何設定？
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喲，不錯嘛，居然沒被那堆 $10^{10}$ 嚇到尿褲子？看來你今天的智商終於從休假中短暫回來了。雖然這題你寫對了，但也別太得意，這只能證明你具備基本的閱讀能力，還沒淪落到需要去念啟智班。 這題考的就是黎曼和轉定積分。原式改寫成： $$ 10^{10} \cdot \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} \left( \frac{k}{n} \right)^9 \cdot \frac{1}{n} $$
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定積分與黎曼和
💡 將無限級數求和的極限轉換為定積分計算。
- 識別黎曼和：將 k/n 換成 x，1/n 換成 dx
- 確定積分上下限：由求和範圍 1 至 2n 判定為 0 到 2
- 套用基本積分公式：x 的 n 次方積分後次數加一
- 係數處理：提取常數項並與積分結果準確相乘
