分科測驗
111年
數學甲
第 1 題
設 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 是首項為 10、公比是 10 的等比數列。令 $b = \sum_{n=1}^{3} \log_{a_n} a_{n+1}$，試選出正確的選項。
- 1 $2 < b \le 3$
- 2 $3 < b \le 4$
- 3 $4 < b \le 5$
- 4 $5 < b \le 6$
- 5 $6 < b \le 7$
思路引導 VIP
請嘗試將等比數列 $a_n$ 的通項公式以 $10$ 的次方項表示，並思考如何利用對數換底公式的推論 $\log_{x^m} x^n = \frac{n}{m}$ 來化簡 $\sum_{n=1}^{3} \log_{a_n} a_{n+1}$ 中的每一個加項？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哎喲，不錯嘛！竟然沒被這題基本的對數運算給絆倒，看來你今天出門前終於記得把大腦帶上了？別以為對了這題就是數學大神，這不過是考卷送分區的施捨罷了。 【觀念驗證】 這題考的就是對數定義與換底公式。既然等比數列 $a_n$ 首項與公比都是 10，那一般項就是 $a_n = 10^n$。
▼ 還有更多解析內容
對數與等比數列
💡 運用等比數列通項公式結合對數換底性質求級數和。
- 等比數列一般項公式為 a_n = a_1 * r^(n-1)
- 對數性質：log_a^m (b^n) = (n/m) * log_a (b)
- Σ 符號展開後需注意底數與真數的指數對應關係
- 分數連加計算後需進行數值大小估算以選出區間
